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函数项级数与幂级数

  1. 内容提要

    1. 函数级数的逐点收敛与一致收敛

定义1. 对定义在上的函数,记

  1. 称函数列上一致有界,
    使得都有

  2. 称函数列上一致收敛到记作

也即:使得都有

  1. 称函数列上逐点收敛到记作都有

也即:使得都有

注: 函数列的一致收敛性蕴含逐点收敛性,反之则不然.

定义2.
为定义在上的函数列.

  1. 收敛,
    则称在点收敛,
    的收敛点.
    函数项级数的所有收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域.

  2. 条件收敛,
    则称在点条件收敛.

  3. 绝对收敛,
    则称在点绝对收敛.

定义3.
上一致收敛到若部分和函数列上一致收敛到

  1. 函数项级数一致收敛的判别法

定理1.(Cauchy准则)上一致收敛当且仅当:使得都有也即

定理2.(Weierstrass判别法)若数项级数
收敛,
都有也即

上一致绝对收敛,
上一致收敛.

定理3. (Dirichlet判别法)若以下条件成立:

  1. 对任意固定的数列单调,
    且函数列

  2. 函数列上一致有界,

上一致收敛.

定理4. (Abel判别法)若以下条件成立:

  1. 对任意固定的数列单调,
    且函数列上一致有界,

  2. 上一致收敛,

上一致收敛.

  1. 一致收敛的函数项级数的性质

定理5.
上一致收敛,

  1. 和函数
    都有

  1. 和函数

定理6.
上一致收敛,
使得收敛,

上一致收敛,

  1. 幂级数

定义4.
形如的函数项级数称为幂级数.
的函数

处的Taylor级数. 当时, Taylor级数

又称为的Maclaurin级数.

定理6.
(Abel第一定理)设有界,
中内闭一致绝对收敛,即
上一致收敛.

推论1. (1)
在点收敛,
中点点绝对收敛.

(2) 若在点发散,
中处处发散.

(3)
存在使得上点点绝对收敛,
上处处发散,
称此为幂级数的收敛半径.

(4)若收敛,
的收敛半径

(5)若发散,
的收敛半径

(6)若条件收敛,
的收敛半径

定理6.
(Abel第二定理)设幂级数的收敛半径为(或)收敛,
(或)上一致绝对收敛.
因而幂级数在其收敛域中内闭一致绝对收敛.

定理7. 设的收敛半径为

定理8.
的和函数为收敛半径为

  1. 中连续;
    收敛,
    左连续;
    收敛,
    右连续.

  2. 处收敛,
    则幂级数可以逐项积分:

且逐项积分得到的幂级数的收敛半径也为

  1. 幂级数中可以逐项求导:

且逐项求导得到的幂级数的收敛半径也为

注:逐项积分和逐项求导不改变幂级数的收敛半径, 但收敛域可能发生变化.
例如,
幂级数的收敛域为对幂级数逐项积分得其收敛域为对幂级数逐项求导得其收敛域为

定理9.
若导函数列上一致有界,即使得

上可以展开成Taylor级数,

注:的函数的Taylor级数其和函数不一定是
例如

因此



  1. 典型例题
  1. 证明:函数项级数上非一致收敛.

证明:当时,
收敛, 且

知,
和函数在点不连续.

上一致收敛,则上一致收敛,其和函数上连续,矛盾.

  1. 已知上一致收敛,
    , 收敛,证明:

证明:不妨设(这是因为上一致收敛,则在的任意子区间上也一致收敛).

上一致收敛,有上一致收敛,
又因收敛,所以上一致收敛,故而有

  1. 已知

分析:

但这里的函数项级数上非一致收敛,逐项积分没有定理保障,需要精细的推导证明:首先证明
上可以逐项积分,再令得到的值。

解:

因此

函数

上连续.
记连续函数在有界闭区间上的最大值为于是

因而

由已知条件

由Weierstrass判别法,函数项级数上一致收敛。又因为所以令对函数项级数可以逐项取极限(例2),即

因此

  1. 求幂级数
    的收敛域.

解: 记
,因为

,所以

,

从而收敛半径

时,由交错项级数的莱布尼茨判别法知,
级数
收敛.

时,因为

(Euler常数), 所以

,

故级数发散.
综上, 幂级数的收敛域为

  1. 的收敛域。

解法一:
因为所以幂级数的收敛半径为时,

,

上式右端发散,
收敛,因此发散.故幂级数的收敛域为

解法二:将原幂级数分解为两个幂级数之和:

考虑幂级数b{n} = \frac{2^{2n - 1}}{2n - 1}x^{2n - 1},\lim{n \rightarrow \infty}\frac{b{n + 1}}{b{n + 1}} = 4x^{2},时幂级数收敛,当时幂级数发散.当时,级数为,
发散. 故幂级数的收敛域为

类似的分析可得幂级数
的收敛域为

故原幂级数的收敛域为

  1. 的Maclaurin级数.

解:对作Taylor展开:

因为所以收敛半径为逐项积分得

时,
由交错项级数的Leibnitz判别法知,
收敛, 故

  1. 求函数的Maclaurin展开式.

解:以下两个幂级数

在收敛域中绝对收敛, 由Cauchy乘积, 有

  1. 求函数的Maclaurin展开式.

解:等式两边对求导, 得

两边同乘

等式两边再对阶导, 得

所以

的Maclaurin展开式为

因为所以收敛半径
时函数没有定义,所以幂级数的收敛域为

  1. 求幂级数

    的和函数.

解:级数的收敛域为 和函数

逐项求导得

微分方程两边同乘积分因子

两边积分,得

利用初值条件

  1. 利用幂级数求数项级数的和

解:由交错项级数的Leibnitz判别法知,所求数项级数收敛. 令

所求数项级数之和为 欲求先求和函数由于上述幂级数在
时绝对收敛,故可对其进行重排,即

由幂级数的逐项可导性,有

因为 ,所以

又因为幂级数的和函数在其收敛域上连续, 所以



  1. ,利用幂级数证明:

证明:令
利用已知条件 ,得

求解微分方程初值问题

由柯西乘积,有

于是 从而


  1. ,证明:级数

    收敛,并求其和.

解:由题设条件,
也即

整理,得

比较系数,得
因此

注意到数列 单调递增,且
,所以

  1. 利用幂级数证明常微分方程初值问题y(x) = x + e^{x},x \in \mathbb{R}.$

解:设微分方程初值问题有幂级数解

比较系数得,

归纳可证:因此