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函数项级数与幂级数

内容提要
1. 函数级数的逐点收敛与一致收敛

定义1. 对定义在上的函数,记

称函数列在上一致有界,
若使得都有
称函数列在上一致收敛到记作若

也即：使得都有

称函数列在上逐点收敛到记作若都有

也即：使得都有

注：函数列的一致收敛性蕴含逐点收敛性，反之则不然.

定义2.
设为定义在上的函数列.

若收敛,
则称在点收敛,
称为的收敛点.
函数项级数的所有收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域.
若条件收敛,
则称在点条件收敛.
若绝对收敛,
则称在点绝对收敛.

定义3.
称在上一致收敛到若部分和函数列在上一致收敛到

函数项级数一致收敛的判别法

定理1.（Cauchy准则）在上一致收敛当且仅当：使得都有也即

定理2.（Weierstrass判别法）若数项级数
收敛,
且都有也即

则在上一致绝对收敛,
即在上一致收敛.

定理3. （Dirichlet判别法）若以下条件成立：

对任意固定的数列单调,
且函数列
函数列在上一致有界,

则在上一致收敛.

定理4. （Abel判别法）若以下条件成立：

对任意固定的数列单调,
且函数列在上一致有界,
在上一致收敛,

则在上一致收敛.

一致收敛的函数项级数的性质

定理5.
设，在上一致收敛,
则

和函数
即都有

和函数且

定理6.
设，在上一致收敛,
且使得收敛,

则在上一致收敛,
且

幂级数

定义4.
形如的函数项级数称为幂级数.
对的函数称

为在处的Taylor级数. 当时, Taylor级数

又称为的Maclaurin级数.

定理6.
（Abel第一定理）设有界,
则在中内闭一致绝对收敛，即
在上一致收敛.

推论1. （1）
若在点收敛,
则在中点点绝对收敛.

（2）若在点发散,
则在中处处发散.

（3）
存在使得在上点点绝对收敛,
在上处处发散,
称此为幂级数的收敛半径.

（4）若收敛,
则的收敛半径

（5）若发散,
则的收敛半径

（6）若条件收敛,
则的收敛半径

定理6.
（Abel第二定理）设幂级数的收敛半径为若在（或）收敛,
则，在（或）上一致绝对收敛.
因而幂级数在其收敛域中内闭一致绝对收敛.

定理7. 设的收敛半径为则

若则
若则
若则

定理8.
设的和函数为收敛半径为则

在中连续;
若在收敛,
则在左连续;
若在收敛,
则在右连续.
若在处收敛,
则幂级数可以逐项积分：

且逐项积分得到的幂级数的收敛半径也为

幂级数在中可以逐项求导:

且逐项求导得到的幂级数的收敛半径也为

注：逐项积分和逐项求导不改变幂级数的收敛半径, 但收敛域可能发生变化.
例如,
幂级数的收敛域为对幂级数逐项积分得其收敛域为对幂级数逐项求导得其收敛域为

定理9.
设若导函数列在上一致有界，即使得

则在上可以展开成Taylor级数,
即

注：的函数的Taylor级数其和函数不一定是
例如

则且因此

典型例题

证明：函数项级数在上非一致收敛.

证明：当时,
收敛, 且

由知,
和函数在点不连续.

若在上一致收敛,则在上一致收敛，其和函数在上连续,矛盾.

已知在上一致收敛,
, 且收敛,证明：

证明：不妨设（这是因为在上一致收敛，则在的任意子区间上也一致收敛）.
令

由，有由在上一致收敛，有在上一致收敛,
又因收敛，所以在上一致收敛，故而有

即

已知求

分析：

但这里的函数项级数在上非一致收敛，逐项积分没有定理保障，需要精细的推导证明：首先证明
，在上可以逐项积分，再令得到的值。

解：

因此

因函数

在上连续.
记连续函数在有界闭区间上的最大值为于是有

因而

令得

由已知条件得

有

由Weierstrass判别法,函数项级数在上一致收敛。又因为所以令对函数项级数可以逐项取极限（例2），即

因此

求幂级数
的收敛域．

解：记
，因为

，所以

从而收敛半径．

当时，由交错项级数的莱布尼茨判别法知,
级数
收敛．

当时，因为

(Euler常数), 所以

故级数发散．
综上, 幂级数的收敛域为．

求的收敛域。

解法一:
因为所以幂级数的收敛半径为当时,

上式右端发散,
收敛，因此发散.故幂级数的收敛域为

解法二：将原幂级数分解为两个幂级数之和：

考虑幂级数 $记$ b{n} = \frac{2^{2n - 1}}{2n - 1}x^{2n - 1}, $因为$ \lim{n \rightarrow \infty}\frac{b{n + 1}}{b{n + 1}} = 4x^{2}, $所以当$ 时幂级数收敛,当时幂级数发散.当时,级数为,
发散. 故幂级数的收敛域为

类似的分析可得幂级数
的收敛域为

故原幂级数的收敛域为

求的Maclaurin级数.

解：对作Taylor展开：

记因为所以收敛半径为逐项积分得

当时,
由交错项级数的Leibnitz判别法知，
收敛, 故

求函数的Maclaurin展开式.

解：以下两个幂级数

在收敛域中绝对收敛, 由Cauchy乘积, 有

求函数的Maclaurin展开式.

解：等式两边对求导, 得

两边同乘得

等式两边再对求阶导, 得

令得

又所以

故的Maclaurin展开式为

记因为所以收敛半径
而时函数没有定义，所以幂级数的收敛域为

求幂级数

的和函数.

解：级数的收敛域为和函数

逐项求导得

微分方程两边同乘积分因子得

两边积分，得

利用初值条件得

利用幂级数求数项级数的和

．

解：由交错项级数的Leibnitz判别法知，所求数项级数收敛. 令

所求数项级数之和为欲求先求和函数由于上述幂级数在
时绝对收敛，故可对其进行重排，即

由幂级数的逐项可导性,有

因为，所以

又因为幂级数的和函数在其收敛域上连续, 所以

即

设

，利用幂级数证明：
．

证明：令
利用已知条件，得

求解微分方程初值问题

得由柯西乘积，有

于是从而

设
，证明：级数

收敛，并求其和.

解：由题设条件,
有即也即

整理,得

比较系数，得
因此

注意到数列单调递增,且
，所以

$即$

利用幂级数证明常微分方程初值问题 $的解为$ y(x) = x + e^{x},x \in \mathbb{R}.$

解：设微分方程初值问题有幂级数解则

且

即

比较系数得，且

归纳可证:因此