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函数项级数与幂级数
内容提要
定义1. 对定义在
称函数列
若
称函数列
也即:
也即:
注: 函数列的一致收敛性蕴含逐点收敛性,反之则不然.
定义2.
设
若
则称
称
函数项级数的所有收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域.
若
则称
若
则称
定义3.
称
定理1.(Cauchy准则)
定理2.(Weierstrass判别法)若数项级数
且
则
即
定理3. (Dirichlet判别法)若以下条件成立:
对任意固定的
且函数列
函数列
则
定理4. (Abel判别法)若以下条件成立:
对任意固定的
且函数列
则
定理5.
设
则
定理6.
设
且
则
且
定义4.
形如
对
为
又称为
定理6.
(Abel第一定理)设
则
推论1. (1)
若
则
(2) 若
则
(3)
存在
在
称此
(4)若
则
(5)若
则
(6)若
则
定理6.
(Abel第二定理)设幂级数
则
因而幂级数在其收敛域中内闭一致绝对收敛.
定理7. 设
若
若
若
定理8.
设
若
则
若
则
若
则幂级数可以逐项积分:
且逐项积分得到的幂级数
的收敛半径也为
且逐项求导得到的幂级数
注:逐项积分和逐项求导不改变幂级数的收敛半径, 但收敛域可能发生变化.
例如,
幂级数
定理9.
设
则
即
注:
例如
则
证明:当
由
和函数
若
证明:不妨设
令
由
又因
即
分析:
但这里的函数项级数
解:
因此
因
在
因而
由已知条件
由Weierstrass判别法,函数项级数
因此
解: 记
,因为
,所以
从而收敛半径
当
时,由交错项级数的莱布尼茨判别法知,
级数
收敛.当
时,因为
(Euler常数), 所以
故级数
综上, 幂级数的收敛域为
解法一:
因为
上式右端
解法二:将原幂级数分解为两个幂级数之和:
考虑幂级数
发散. 故幂级数的收敛域为
类似的分析可得幂级数
故原幂级数的收敛域为
解:对
记
当
由交错项级数的Leibnitz判别法知,
收敛, 故
解:以下两个幂级数
在收敛域
解:等式
两边同乘
等式两边再对
令
又
故
记
而
解:级数的收敛域为
逐项求导得
微分方程
利用初值条件
解:由交错项级数的Leibnitz判别法知,所求数项级数收敛. 令
所求数项级数之和为
由幂级数的逐项可导性,有
因为
又因为幂级数的和函数在其收敛域上连续, 所以
即
证明:令
利用已知条件
求解微分方程初值问题
得
于是
解:由题设条件,
有
整理,得
比较系数,得
注意到数列
解:设微分方程初值问题有幂级数解
且
即
比较系数得,
归纳可证: